پیشنیاز درس نظریه مقدماتی احتمال، آنالیز ریاضی ۱ است. بنابراین این درس پیشنیاز نظریه اندازه ندارد و در خود درس تدریس می گردد. بنابراین در واقع این درس نظریه اندازه و احتمال است.

هدف

هدف این درس آشنایی دانشجو با زبان نظریه اندازه، مبانی نظریه احتمال و شیوه به کارگیریِ ابزارهای نظریه اندازه در احتمال است.

سرفصل درس

تعریف مقدماتی از احتمال و بیان نمونه‌هایی از فضاهای احتمال، بیان ضرورت توسعۀ مفهوم پیشامد و احتمال، سیگمامیدان، اندازه مجرد و ویژگی‌های آن، اندازه لبگ، خواص اندازه لبگ و وجود مجموعه اندازه‌ناپذیر، تعریف احتمال شرطی و پیشامدهای مستقل، لم‌های اول و دوم برل-کانتلی، توابع اندازه‌پذیر و متغیرهای تصادفی، اندازه احتمال وابسته به متغیر تصادفی، تقریب با توابع ساده (متغیرهای تصادفی گسسته)، همگرایی تقریباً همه‌جا (قریب به یقین)، همگرایی در اندازه (در احتمال)، انتگرال (امید) توابع اندازه‌پذیر (متغیرهای تصادفی) ساده، انتگرال (امید) توابع اندازه‌پذیر (متغیرهای تصادفی) نامنفی، قضیه همگرایی یکنوا و نتایج آن، توابع انتگرال‌پذیر، لم فاتو، قضیه همگرایی تسلطی و نتایج آن، فضاهای Lp(اثبات ساختار برداری و کامل بودن آنها)، گشتاورهای متغیرهای تصادفی و واریانس، تابع مولد گشتاور، سیگمامیدان حاصل‌ضربی، اندازه حاصل‌ضربی، انتگرال دوگانه و قضیه فوبینی، بردارهای تصادفی و تابع توزیع چندمتغیره، .

قانون اعداد بزرگ ، قانون قوی اعداد بزرگ ، توزیع احتمال در فضای Rn , تابع های مشخصه و خواص آن ، متغیر های گوسی در فضای n بعدی ، همگرایی متغیر های تصادفی، ، همگرایی ضعیف، رابطه بین همگرایی ضعیف و توابع مشخصه ، قضیه های حد مرکزی

مراجع پیشنهادی

1- Adams, M. and Guillemin, V., Measure Theory and Probability, Birkhauser, 1996. 2- Resncik, S., A Probabilityp Path, 2th Ed., Springer, 2014. 3- Billingsley, P., Probability and Measure, John Wiley & Sons, 2012. 4- Jacod, J. and Protter, P., Probability Essentials, Springer-Verlag, 2004.